ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות חליפות צירופים נוסחת ניוטון משפט מולטינומי קומבינטוריקה עוסקת בסוגים שונים של סידורים סידורים או בחירות מכילה עצרת של מספר ובחירות בהרבה מקרים התוצאה עבור מספר עצרת של מספר ופונקצית גאמא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים,,,, ב-! מסומנת! הגדרה D עצרת של מספר [factorial] ונתונה על ידי הנוסחא α פונקצית עצרת היא מקרה פרטי של פונקצית גאמא [Gamma] המוגדרת על ידי האינטגרל: α Γ ( α + ) dt α > t e α t כאן, הוא מספר ממשי שנמצא בתחום מתקיים: עבור שלמים (כולל אפס) ( )! Γ + t () dt e! Γ α כתוצאה, α ( α + ) αγ( α ) Γ שאלה L הוכח/הוכיחי את הנוסחא עבור כל Γ ( α + ) dt t e α t פתרון נתחיל מהגדרה ונבצע את האינטגרציה בחלקים פעם אחת נקבל: Γ α t α t α t α t ( α + ) dt t e t de t e α dt t e αγ( α ) סוף הוכחה Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-
Γ π שאלה L הוכח/הוכיחי כי I Γ Γ I dxdy נקבל: I I + t dx e ρdρdθ π / dt x dt e t t e α t : t x dx e α t dt e t פתרון על פי ההגדרה, בואו נבצע החלפת משתנה האינטגרציה x ( x + y ) dx dy e x ρ siθ ו x ρ cosθ : I ונחשב I במקום בקואורדינטות פולריות כך ש ρ ρ θ ρ ρ π d d e dρ ρe π { π / Γ I π / כתוצאה, סוף הוכחה עקרון הכפל בניסוח הראשון, עקרון הכפל מאפשר חישוב מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב שלבי: מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב שלבי אחד משלבי הניסוי כלומר, אם ניסוי מתבצע ב ניתן על ידי מכפלת מספרי התוצאות האפשריות בכל שלבים בזה אחר זה כאשר: בשלב הראשון ישנן בשלב השני ישנן, בשלב ה האחרון ישנן תוצאות אפשריות, תוצאות אפשריות, תוצאות אפשריות, N אזי מספר התוצאות השונות בניסוי כולו הוא בניסוח השני (הידוע תחת השם כלל שרשרת), עקרון הכפל מאפשר חישוב שלבי: עבור המאורע מתקיים: ההסתברות של ניסוי רב B I A L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
( B) ( A ) ( A / A ) ( A / A A ) ( A / A A ) I A ( A ) A /I A במילים אחרות, הערה משמעות של כלל שרשרת פשוטה; קל לקלוט אותה עבור ניסוי דו שלבי במקרה זה, B הנוסחא אומרת כי הסתברות של מאורע ) (B ( A ) ( A / A B כך ש ) ( A ) A I A שווה לכפל בין שתי הסתברויות: ההתרחשות בין הסתברות ההתרחשות של השלב השני בהינתן שהשלב הראשון אכן התרחש! של השלב הראשון להסתברות A / A ) ( סידורים תמורות: סידורים של איברים שונים בשורה הגדרה D מספר התמורות [permutatios] הוא מספר האפשרויות לסדר איברים שונים בשורה המסומן ב, הוא ניתן על ידי הנוסחא! {, a} {, a} הוכחה נתבונן באוסף של איברים שונים לסדר אותם בשורה הוא מספר האופציות למקם את האיברים בשורה מספר אפשרויות (אופציות) שבציור: בתוך תאים a a a a מיקום של איברים הוא ניסוי בעל אפשר לעשות זאת ב דרכים שלבים בשלב הראשון יש למקם את האיבר הראשון a מהמקומות כבר תפוס על ידי האיבר בשלב השני למקם יש את האיבר השני מכיוון שאחד, a קיימות רק אופציות לעשות זאת כך ממשיכים עד שנגיע למיקום האיבר האחרון a הסידורים הכולל הוא שעבורו קיימת אופציה אחת בלבד אזי, על פי עקרון הכפל, מספר במילים אחרות,! ( )! 6 { c, a} בשורה הוא הסידורים { c} { c,,{ c, a}, דוגמא E מספר תמורות של שלושה איברים שונים { c}, { c,, { c} האפשריים הם, שאלה L בכמה דרכים אפשר לסדר ספרים שונים על המדף? פתרון מדובר על מספר תמורות של שלושה איברים שונים בשורה, 6! Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-5
שאלה L נתונות הספרות 6 5,,,,, כמה מספרים בעלי שש ספרות ניתן לרשום בעזרתן במקרים הבאים? א ב ג ד ה ללא הגבלות שהספרה ראשונה משמאל שהספרה איננה ראשונה משמאל שהספרות ו- נמצאות בקצוות ש- הספרות הראשונות משמאל הן אי זוגיות ו- הספרות מימין הן זוגיות חובה להשתמש בכל הספרות! פתרון נוח לחשוב על הרכבת המספר כעל מילוי שישה תאים על ידי הספרות 6 5,,,,, א אם אין הגבלות להרכבה, מדובר על מספר תמורות של שישה איברים התשובה היא 7 6! 6 שונים בשורה אזי ב אם היא ספרה ראשונה משמאל, הספרות 6,5,,, 5 ניתן לעשות זאת ב!5 חייבים למלא את החמישה התאים הנשארים על ידי אופנים ג דרך ראשונה: אם הספרה איננה ראשונה משמאל, אפשר לראות כי התשובה ניתנת על ידי 6 5 6! 5! ההפרש בין א ו-ב: 6 דרך שנייה: אם הספרה לא יכולה להופיע כראשונה משמאל, ישנן חמש אופציות למלא את התא השמאלי; עבור התא הבא קיימות חמש אופציות (נובעות מהספרות 6) 5,,,, עבור התא השלישי משמאל נשארות ארבע אופציות וכד' עקרון הכפל מביא את התשובה: 5 5 5 5! 6 ד אם הספרות ו נמצאות בקצוות, ישנן שתי אופציות: 6 ארבעה מקומות פנויים ממלאים ב! 6,5,, כך שהתשובה הסופית היא 8 דרכים שונות באמצעות הספרות ה הרכבת מספר בסעיף זה היא ניסוי דו שלבי בשלב הראשון ממלאים שלושה תאים משמאל באמצעות הספרות 5,, עבור זה קיימות 6! אופציות בשלב השני ממלאים שלושה תאים מימין באמצעות הספרות 6,, עבור זה קיימות 6! אופציות גם כן עקרון הכפל מביא את התשובה: 6 L-6 Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
תמורות: סידורים בשורה כאשר ישנם איברים זהים טענה מספר האפשרויות לסדר איברים בשורה שבתוכם ישנם איברים זהים מסוג שני,, איברים זהים מסוג ה איברים זהים מסוג ראשון,, הוא! (,, )!!!,,, כאן }!!! הערה R מקטין מספר התמורות בגלל נוכחות של המכנה! אין צורך למנות תמורות של איברים זהים תוך כל תת קבוצה תת קבוצות של איברים זהים: מקרה פרטי של הנוסחא הנ''ל עבור הפרמטרים הוא "כל האיברים שונים" הערה R המקרה של :! (,,)!!!! ( ) { a, { a} ) 5 ( איברים דוגמא E באוסף של חמישה שבתוכם תת קבוצה עם איברים מסוג ישנן שתי תת קבוצות של איברים זהים {} איברים מסוג b מספר אזי, { a, { b, ו 5! (, ) (,) 5!! תמורות הוא האופציות הכלולות במספר זה הן { b, a} { b, { a, a} { b, a} { a, { b, { a, { b, a} שאלה L5 על המדף תשעה ספרים מהם ארבעה ספרי מתמטיקה זהים, שלושה ספרי פיסיקה זהים ושני ספרי כימיה זהים מצא/י בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים במקרים הבאים: א ב ג ללא הגבלה כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה ענה על סעיף א' בתנאי ששלושה ספרי פיסיקה שונים זה מזה פתרון משתמשים בנוסחא עבור תמורות בסעיף Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-7
9! (,,) 6 9!!! א כאשר אין הגבלות, מקבלים ב אם כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה, המצב הוא זה של שלושה איברים שונים בשורה, כך שהתשובה היא 6! ג אם מתייחסים לספרי פיסיקה כלספרים שונים זה מזה, מספר התמורות הוא 9! (,,,,) 756 9!! בחירות אנחנו נתבונן בארבעה סוגים של בחירות: עם ובלי החזרות, קשורות לנושא יופיעו בטבלה בסוף הסעיף עם ובלי חשיבות לסדר כל הנוסחאות חליפות: בחירה בלי החזרה ועם חשיבות לסדר איברים שונים איברים מאוסף המכיל הגדרה D מספר חליפות [variatios] הוא מספר האפשרויות לבחור כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת (בחירה בלי החזרה) אך ישנה חשיבות לסדר הבחירה ( ) { a, c} ( ) דוגמא E מספר האפשרויות לבחור שני איברים מאוסף המכיל שלושה איברים כאשר מדובר על בחירה ללא החזרה עם חשיבות לסדר שווה ל 6 האופציות הקיימות הן { c,,{ c},{ c,a} c,c} { לא מופיעות ברשימה,{,{ c},{ a},{ a},{ מכיוון שהבחירה היא ללא החזרה, האופציות טענה מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך ועם חשיבות לסדר (מספר חליפות) הוא איברים שונים כאשר הבחירה היא ללא החזרה! ( )! הוכחה נוח לחשוב על בחירה ללא החזרה ועם חשיבות לסדר של איברים מתוך איברים שונים את התא הראשון מותר למלא ב a i,, a i, a i כעל מילוי של תאים על ידי איברים ( ) ( ) ב +) ( דרכים שונות, את התא השני ב התא ה (האחרון) דרכים דרכים, את התא השלישי ב דרכים,, את a i a i a i L-8 על עקרון הכפל, מספר האופציות למלא את כל התאים הוא ( ) ( ) ( + )! ( )! Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
סוף הוכחה הערה R עקרון הכפל בניסוח הראשון (אשר מתייחס לחישוב מספר האופציות בניסוי רב שלבי) לוקח בחשבון כל הסדרים האפשריים אנחנו נראה בהמשך כי עקרון הכפל בניסוח השני (אשר מטפל בחישוב הסתברות בניסוי רב שלבי) לא מתייחס לסדרים שונים כלל! ( )! 6 ו הערה R בדוגמא E, הפרמטרים כך שמספר אפשרויות הבחירה הוא שאלה L6 מכיתה בה שמונה בנים ושתים עשרה בנות בוחרים ועדה בת ארבעה תלמידים כל התפקידים בוועדה שונים זה מזה ותלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד א ב בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה? בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה אם לתפקיד מסוים יש לבחור אחד מהבנים ולשלושת התפקידים האחרים יש לבחור רק בנות? א ב פתרון "תלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה "כל התפקידים בוועדה שונים זה מזה" פרוש הדבר: בחירה עם חשיבות לסדר אזי נשתמש בחליפות מספר אופנים! 9 8 7 68 6! מדובר על בחירת הוועדה המכילה בן אחד ושלוש בנות: בן 8 בת דרך ראשונה בחירת הוועדה הוא "ניסוי" דו שלבי בשלב הראשון נבחר בן אחד מתוך 8 בנים בכיתה אפשר לעשות זאת ב- 8 אופנים בשלב השני, בוחרים בנות מתוך בנות בכיתה מספר אופציות אפשריות בשלב זה הוא על פי עקרון הכפל, מספר אפשרויות לבחור את 8 8 הוועדה כולה שווה ל 56 דרך שנייה אפשר להתייחס לבחירת הוועדה כלמילוי ארבעה תאים את התא הראשון אפשר למלא על ידי בן ב 8 אופנים את התא השני אפשר למלא על ידי אחת הבנות ב אופנים אזי למילוי התא השלישי קיימות אופציות, ולתא האחרון נשארו רק אופציות עקרון הכפל מביא את התשובה 8 56 שאלה L7 ישנם מסלולים שונים המקשרים עיר A לעיר לעיר שנייה וחזרה אם לא חוזרים באותה דרך? B בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר אחת מסויימת Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-9
A a b c B פתרון "לא חוזרים באותה דרך" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה מניסוח השאלה עולה כי מדובר על בחירה עם,b { הם מסלולים a} ו- { חשיבות לסדר: המסלולים {b שונים! מניית המסלולים הלוך ושוב זו בחירה של איברים מתוך איברים אזי התשובה היא!! 6 שאלה L8 פתקים עם שמות של 7 ימי השבוע מונחים בכובע פתקים נלקחו משם כדי לקבוע ימים בהם יתקיימו הרצאות שונות מה ההסתברות שההרצאות לא יחולו בסוף שבוע (יום שישי ושבת)? לא תתקיים יותר מהרצאה אחת ביום אחד סדר בו יתקיימו ההרצאות חשוב פתרון " הרצאות שונות" פרוש הדבר: בחירה ללא החזרה "סדר בו יתקיימו הרצאות חשוב" פרוש הדבר: בחירה מסודרת כדי לחשב את ההסתברות הדרושה, אנחנו חייבים לחשב שני מספרים גודל מרחב המדגם ומספר האופציות עבור בחירה המובילה לתוצאה עליה שואלים את השאלה דרך ראשונה א גודל מרחב המדגם מתאים לבחירה של איברים מתוך 7 אזי, 7!! 7 ב אם הרצאות לא יתקיימו בסוף שבוע, כל שלושת הפתקים הגיעו מהחלק של 5 ימות החול כמצויר למטה: 5 ימות החול לכן ההסתברות הדרושה היא 6 5 7 5!! 7 5 זה מביא את מספר האופציות 6 דרך שנייה אפשר לחשב את ההסתברות הנשאלת באמצעות עקרון הכפל בניסוח השני (כלל שרשרת): 5 7 6 5 7 חליפות: בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר בבחירה עם החזרה ניתן לבחור באותו איבר יותר מפעם אחת L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
{ a, c} ( ) ( ) דוגמא E מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר שווה ל- 9 האופציות הקיימות הן כאשר { c,,{ c},{ c,c},{ c,a},{ c},{,{ a},{,{ a} טענה מספר האפשרויות לבחור ועם חשיבות לסדר הוא איברים מתוך איברים שונים כאשר הבחירה היא עם החזרה { a,, a } הוכחה נתבונן באוסף של תאים איברים שונים נתייחס לסידורם כלמילוי של a a a מילוי של תאים הוא ניסוי בעל שלבים בכל שלב מותר למלא את התא הרלבנטי ב אופנים מכיוון שהבחירה היא בחירה עם החזרה אזי, על פי עקרון הכפל, מספר כולל של אפשרויות שווה ל- שאלה L9 כמה מספרים בני ספרות ניתן לרשום באמצעות הספרות?,,,, 5, כל ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת פתרון דרך ראשונה "כל ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת" פרוש הדבר: בחירה עם החזרה מובן שסדר הספרות במספר הוא כן חשוב אזי, אפשר לבחור ספרות מתוך 6 ב 6 אופנים 6 הנקודה החשובה מספר לא יכול להתחיל מהספרה זה אומר שצריך להוריד מ האופציות להרכיב "קוד" בן ספרות עם ספרה ראשונה משמאל את מספר 6 6 8 מספר אופציות כאלו הוא 6 אזי, התשובה היא דרך שנייה מכיוון ש לא יכול להופיע במקום הראשון, קיימות 5 אופציות למלא את התא השמאלי ל תאים מימין ישנן 6 אופציות עבור כל אחד מתאים אלה אזי, לפי עקרון הכפל זה מביא את 5 6 6 6 התשובה הבאה: 8 B בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר אחת מסויימת A שאלה L ישנם מסלולים שונים המקשרים עיר לעיר לעיר שנייה וחזרה אם אפשר לחזור באותה דרך? L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
פתרון "אפשר לחזור באותה דרך" פרוש הדבר: בחירה עם החזרה משאלה גם עולה כי מדובר על בחירה עם חשיבות לסדר מניית המסלולים הלוך ושוב זו בחירה של אזי התשובה היא מתוך איברים 9 צירופים: בחירה בלי החזרה ובלי חשיבות לסדר הגדרה D מספר צירופים [combiatios] הוא מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך איברים שונים כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת (בחירה בלי החזרה) ואין חשיבות לסדר הבחירה { a, c} ( ) ( ) דוגמא E5 מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה ללא החזרה ובלי חשיבות לסדר הוא האופציות הקיימות הן כאשר { c},{ c},{ טענה מספר האפשרויות לבחור איברים מתוך ובלי חשיבות לסדר (מספר צירופים) הוא איברים שונים כאשר הבחירה היא ללא החזרה!! ( )!! הוכחה ניתן לראות כי מספר הצירופים סוף הוכחה ומספר החליפות קשורים אחד לשני כ שאלה L הוכח/הוכיחי כי שאלה L בכד 8 כדורים שונים בכמה אופנים ניתן להוציא ממנו בלי החזרה כדורים? כדורים? א ב מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר א ב פתרון מדובר על בחירה ללא החזרה "מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר" לסדר התשובה היא פרוש הדבר: אין חשיבות 8 7 8 56 ועד את הכיתה בו תלמידים במקרים 5 תלמידים שאלה L מצא/י בכמה אופנים ניתן לבחור מכיתה של הבאים: L- א ללא הגבלה (אין בוועד תפקידים מוגדרים) Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
ב ג בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר לוועד בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר ושניים אחרים יכולים להיבחר? (גם בשמות מסוימים) אינם אין בוועד תפקידים מוגדרים תלמיד אחד לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד פתרון "אין בוועד תפקידים מוגדרים" פרוש הדבר: בחירה בלי חשיבות לסדר "תלמיד אחד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד" פרוש הדבר: בחירה בלי החזרה 5 65 א התשובה היא ב הרכבת הוועד הוא ניסוי דו שלבי אם תלמיד בשם מסוים חייב להיבחר לוועד, בשלב הראשון בוחרים בתלמיד זה מספר האופציות לעשות זאת הוא בשלב השני אנחנו בוחרים ב תלמידים נוספים מתוך שנשארו מספר האופציות הוא עקרון הכפל, מגעים לתשובה: על פי 6 6 ג מכיוון ששני תלמידים בשמות מסוימים לא יכולים להיבחר לוועד, התשובה היא 86 שאלה L בכיס המרצה ישנם 6 מטבעות מזהב, מכסף ו מארד המרצה מוציא מטבעות בצורה אקראית מהי ההסתברות שכל המטבעות שיוציא הם מאותו חומר? פתרון: שאלה מתייחסת להסתברות אזי צריך לחשב את גודל מרחב המדגם ואת גודל המאורע אליו מתייחסת שאלה (במילים אחרות, יש לחשב את מספר האופציות המביאות לבחור מטבעות מאותו חומר) מרצה מוציא מטבעות בלי החזרה שאלה גם לא מתייחסת לסדר הבחירה כך שהבחירה היא בחירה לא מסודרת הוצאה של מטבעות מתוך הנמצאים בכיס מתאימה למרחב המדגם בגודל Ω E E נגדיר את המאורע {שלושה מטבעות מאותו חומר} המאורע בזוגות: A G {שלושה מטבעות מזהב}, A S {שלושה מטבעות מכסף} מורכב משלושה מאורעות זרים {שלושה מטבעות מארד} A B ( E) ( AG ) + ( AS ) + ( AB ) E A G A S כך ש- אזי ההסתברות הדרושה A B כדי לחשב שלוש הסתברויות אלו, יש למצוא את מספר האופציות להוציא מטבעות מזהב (מכסף, מארד) מכיס המרצה מטבעות מזהב הגיעו מחלק הכיס בו נמצאו 6 מטבעות מזהב אזי מספר האופציות הדרוש הוא A S באותה דרך, A G 6 ו כתוצאה, A B ( A ) G A G Ω 6 86, ( A ) S A S Ω 86, ( A ) B A B Ω 86 אזי, ההסתברות הדרושה היא Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-
( E) ( A ) + ( A ) + ( A ) G S B 5 86 צירופים: בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר { a, c} ( ) ( ) דוגמא E6 מספר האפשרויות לבחור איברים מאוסף של שלושה איברים מדובר על בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר שווה ל 6 האופציות הקיימות הן כאשר { c,a},{ c,c},{ c},{, {,{ a} טענה מספר האפשרויות לבחור ובלי חשיבות לסדר הוא איברים מתוך איברים שונים כאשר הבחירה היא עם החזרה + + ( + )! (, ) +!( )! הוכחה כדי להבין את ההיגיון מאחורי ההוכחה, נחזור לדוגמא E6 ונציג אותה דרך הטבלה: a b שכיחות c שכיחות שכיחות אופציות { a} { { { c} { c,c} { c,a} הצגה פורמאלית כאן, מספר סימני נוכחות מסמן שכיחות איבר מסוים באופציה, וסימן הפרדה מפריד בין איברים שונים הצגה פורמאלית בטבלה מרמזת כי מספר הבחירות הוא שווה למספר האופציות לסדר איברים בשורה כאשר בתוכם יש שתי תת קבוצות: הראשונה מכילה איברים זהים ( ) והשנייה (,) מכילה גם שני איברים זהים ( ) התשובה במקרה זה היא 6 ו ) ( קל לראות כי במקרה הכללי, הצגה פורמאלית תכלול מספר האופציות לסדר סימני נוכחות סימני הפרדה איברים בשורה כאשר בתוכם ישנם שתי תת קבוצות בגודל ו + ( + )! (, ) +!( )! + + ) ( בהתאמה הוא סוף הוכחה L- Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author
5 בחירות: טבלת סיכום בלי החזרה עם החזרה מסודרת לא מסודרת + (, ) מקדם 5 בינומי ומקדם מולטינומי נוסחאות קומבינטוריות מכילות שני מקדמים חשובים: (,, ),, מקדם בינומי מקדם מולטינומי עם שני מקדמים אלה הם חלק בלטי נפרד של שני משפטים הבאים ( a + b) a b a b משפט T (משפט ניוטון) משפט T (משפט מולטינומי) + + + (,, ): (,, ): + + + + ( x x x ) (,, ) x x,, x x x x x! (,, ):,, (,, ):! + + + + בצורה "מפחידה" יותר: שאלות 6 נוספות שאלה L5 נתונות הספרות 6 5,,,,, כמה מספרים בעלי שש ספרות ניתן לרשום בעזרתן במקרים הבאים? א שהספרה הראשונה משמאל היא ספרה אי זוגית Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author L-5
ש) שמ) ב ג שהמספר הוא מספר זוגי שהספרה 6 איננה ספרת האחידות יש לענות על השאלות אם () חלה חובה להשתמש בכל ספרה, () מותר להשתמש באותה ספרה יותר מפעם אחת פתרון במקרה ( חלה חובה להשתמש בכל ספרה, ניתן לראות כי התשובות הן: 5! 5! 5 5! א ב ג במקרה ( ותר להשתמש באותה ספרה יותר מפעם אחת, ניתן לראות כי התשובות הן: 6 6 5 6 5 5 5 א ב ג שאלה L6 כמה מספרים בני 8 ספרות ניתן לרשום בעזרת הספרות,,,,,,,,,6,6,6,,6,8,8 א ב חובה להשתמש בכל ספרה פתרון א המספר הדרוש הוא הפרש בין מספר האופציות להרכיב קוד בן 8 ספרות מהספרות הנתונות למספר האופציות להרכיב קוד כאשר הספרה הראשונה משמאל היא : 8 (,,,) 7 (,,) 7 8 (,,) 7 (,,) 5 ב באותה דרך מקבלים: L-6 Terms of Use: Everyoe is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright otice is ept (Eugee Kazieper All rights reserved, 5/6) No part of the lecture otes ad other accompayig materials may be reproduced or stored i a retrieval system other tha at http://wwwhitacil/staff/azieper, copied or trasmitted i ay form or by ay meas without the prior permissio of the author